MATEMATICAS FINANCIERAS: PRINCIPIOS Y DATOS ECONOMICOS BASICOS UTILIZADOS COMO REFERENCIA PARA REALIZAR EL PROYECTO DE UNA NUEVA PLANTA INDUSTRIAL EN ESPAÑA

Cuando en un nuevo proyecto de una planta de producción se precise realizar, para justificarlo, una Planificación Estratégica previa o el comúnmente denominado Estudio de Viabilidad, es necesario fijar unos principios y datos básicos económicos homogéneos para que las conclusiones que se obtengan puedan ser comparables y objetivas. Además, estos principios y datos básico, constituyen auténticos criterios de diseño que se corresponden, en si mismos, con lo que se entiende, a nivel internacional, como buenas prácticas de diseño y que permiten definir el diseño genérico de cualquier tecnología de forma homologable y comparable.

Pongamos un ejemplo: Si se trata de comparar cual es la tecnología  más interesante para un proyecto industrial de producción y, en cada una de las alternativas, se cogen diferentes criterios de diseño económicos, resultarán que no son comparables los resultados y puede que resulte, aparentemente, más favorable aquella alternativa que no lo es por multitud de razones, bien porque las horas anuales de producción son distintas, bien porque las escalaciones e inflacciones consideradas son diferentes, bien porque las tasas de descuento consideradas no son las mismas, bien porque el cálculo de los costes de inversión y explotación se hicieron de forma diferente, etc. etc. etc.

En esta entrada, se trata  también de aquellos principios de la Micoeconomía que constituyen las denominadas Matemáticas Financieras.

  • Principios económicos : Matemáticas Financieras:

Un estudio, en general, de alternativas debe comparar las soluciones en liza desde tres puntos de vistas fundamentales, a saber:

  • Económico: Esencialmente de costes de inversión y producción y comparación, puramente económica, desde diferentes perspectivas.
  • Técnico: En sus dos variantes, aquella que se traduce en costes diferentes y aquella que no se puede traducir en costes y se debe recurrir al análisis de intangibles.
  • Medioambiental: También en las dos mismas variantes, una económica, a través de la valoración del comercio de emisiones a que da lugar, y, otra, desde la valoración de intangibles.

De lo indicado, se deduce que, las herramientas de matemática financiera y los criterios empleados, son esenciales para poder realizar el análisis de alternativas de forma uniforme y objetiva.

3.2.1.-El valor del dinero en el tiempo:

El valor del dinero no es el mismo hoy que dentro de un año (al que llamaremos n=1) ya que influye, en él, dos aspectos, el tipo de interés (al que llamaremos i) que existe en el mercado y que hace que el dinero invertido, al año, será cuantitativamente mayor, y, viceversa, una cantidad de dinero del futuro, en valor presente, es menor, teniendo en cuenta el tipo de interés o tasa de descuento (al que llamaremos también i).

La fórmula matemática con la que obtenemos el valor futuro F de una cantidad de dinero P, obtenida dentro de n años es la siguiente:

P= F x 1/ (1+i)n = F x  a

De esta fórmula, se puede obtener el valor F, de una cantidad P dentro de n años,  despejando de la fórmula anterior el término F.

F= A  x  [ (1+i)n-1]/i =A * b           n= 5 años

Si en vez de ser una única cantidad P al cabo de n años, son una serie igual de cantidades A, al final de cada uno de los n años, el valor futuro F de esta serie sería:

De igual manera, de esta fórmula, se puede despejar la cantidad A anual, que se llama anualidad, que equivale al valor futuro F.

Las diferentes fórmulas que se aplican para calcular el valor actual, futuro y las diversas anualidades, con intereses simples y para diferentes condiciones son las siguientes:

Pago simple:

  • Encontrar F conocido P F= P x (1+i)n
  • Encontrar P conocido F P= F x  1/ (1+i)n

Serie de pagos iguales:

  • Encontrar F conocido A F= A x [ (1+i)n-1]/ i
  • Encontrar A conocido F A= F x [ i / (1+i)n-1]
  • Encontrar P conocido A P= A x [ (1+i)n-1]/ i x (1+i)n
  • Encontrar A conocido P A= P x [ ix(1+i)n/ (1+i)n-1]

Serie de pagos en gradiente:

  • Encontrar la A equivalente a G pagos crecientes en forma de progresión uniforme (1, G, 2G… (n-1)G: A= G x [(1/i) – n / (1+i)n-1]

3.2.2.- Escalación e Inflación:

El aumento de la tasa de inflación (ei) se produce cuando el sistema de producción no puede producir bienes y recursos al mismo precio que el existente en el mercado. Como consecuencia, se produce un aumento de los precios de las últimas unidades producidas, al denominado precio marginal, que es el que fija el precio en el mercado del bien que se dejó de producir al precio más bajo. La forma de medir la inflación es mediante un índice durante un tiempo determinado, el índice más conocido es el IPC (índice precios al consumo) que mide, en un periodo de tiempo (normalmente 1 año), como han subido los precios de los productos de consumo habitual correspondientes a una cesta predeterminada. Más exacto y representativo que el IPC es el incremento anual de precios de los diferentes componentes que determinan el Producto Interior Bruto (PIB), ponderados según el valor de su producción correspondiente. Este parámetro es el denominado el índice deflactor del PIB.

Diferente a la tasa de inflación es la tasa de escalación de precios (er ) que está relacionado con la subida o bajada de precios por causas de agotamiento o descubrimiento de los recursos, aumento o bajada de la demanda o mejora de la investigación y desarrollo que aumenta la productividad.

ea= ( er +1) x ( ei +1) -1

El precio Y de un producto, sujeto a una escalación anual aparente ea, dentro de n años, será:

Y´= (1+ea)n  x  Y.

La suma de los dos conceptos es lo que se denomina escalación aparente

Para expresar el valor de un producto, escalado en el tiempo y referido a una época anterior, se emplea la tasa de descuento, tal como hemos indicado en el apartado anterior.

El valor del IPC, Deflactor del PIB e incremento de Precio Industriales, en España y en los años pasados, se indica en el Anejo[1] nº 12:

3.2.3.-El concepto de Nivelación:

Hemos visto que el valor de un bien económico, sujeto a una escalación anual ea, es diferente de un año al siguiente y a los sucesivos. La nivelación consigue que el valor del bien, sometido a escalación, sea siempre el mismo y equivalente a los valores distintos anuales durante un nº de años n. Para calcular ese valor nivelado equivalente, supongamos que el valor inicial del bien sea 1 y que el coste del dinero sea i.

El valor actual de la serie durante n años será:

a= ∑de n=1a n=n (1+ea)n / (1+i)n

Si a lo convertimos en anualidades iguales durante lo n años, nos da el valor de 1 nivelado durante n años sometido a una escalación aparente de ea y con un coste del dinero de i:

N = a  x  i  x  (1+i)n/ ((1+i)n -1).

Los valores de los factores definidos de A, B, C, D, E, F y N, para emplear en casos particulares, se pueden obtener según hoja de cálculo del Anejo [1]nº 13. El valor de “a” se determinará, caso a caso, fuera de la hoja adjunta.

3.2.4.- Tasa de descuento (i):

Como hemos visto hasta ahora, el valor del dinero en el tiempo viene influenciado principalmente por la tasa de descuento considerada. Consecuentemente, la tasa de descuento a aplicar en un análisis económico de alternativas es de la máxima influencia, pudiendo resultar que la mejor alternativa sea diferente según la tasa de descuento que se considere. Por ejemplo, con tasas de descuento elevadas, las alternativas de baja inversión y alto coste de explotación resultan mejores que las de alta inversión y bajos costes de explotación. Por el contrario, bajas tasas de descuento dan resultados totalmente opuestos.

Hemos definido la tasa de descuento como el coste del dinero. Pero, ¿Para quién? ; ¿Cuando?, ¿Por quién?, etc. Según la perspectiva que se tome y el método seleccionado para su determinación, da como resultado un coste diferente. Por eso, existen los siguientes criterios para su fijación:

  1. Lo determina la empresa en función del pasivo de su balance que refleja, en un momento determinado, el coste del dinero que le ha supuesto a la empresa el conseguir sus activos correspondientes. Supongamos que, una empresa, tiene el siguiente desglose de su pasivo

                                                        % del total        Coste %                   Tasa%

  • Recursos propios: 50 11 5,5 $         50                5                             2,5
  • Pasivo Fijo:  35 12 4,2 $                    35                6                             2,1
  • Pasivo Circulante: 15 15 2,25$         15                8                              1,2

Tasa de descuento %/año:     5,8

La determinación de la tasa de descuento, para los proyectos de una empresa, en función de su estructura financiera, aunque es la forma más académica de hacerlo, presenta los siguientes inconvenientes:

  1. Es difícil de calcular, ya que son muchas las partidas y sub-partidas del pasivo de un balance y, cada una de ellas, tiene un coste diferente.
  1. Se determina el coste del dinero en función de unas condiciones pasadas, que fueron las que condicionaron la obtención de los activos de la empresa. En el momento de la determinación del coste del dinero puede que éste sea mayor o menor al obtenido para el pasado, ya que las condiciones de la empresa puede que hayan mejorado o empeorado en función de su capacidad de generar recursos.
  2. El empleo de tasas de descuento, calculadas de la forma expuesta,   se debe emplear solo para la determinación de costes, no de precios.
  1. Lo fija la empresa en función del coste del dinero en el mercado:

Las ventajas que reporta esta solución son que resulta idónea, para comparar alternativas que dan iguales servicios, ya que considera el valor del coste de los factores existentes en el mercado y es la mejor en la comparación de alternativas por el método de Requerimiento Mínimo de Recuperación, en el que más adelante entraremos. El empleo de esta tasa de descuento no sirve para determinar precios. El coste del dinero en el mercado es el coste de oportunidad que el mercado otorga a proyectos similares en duración y riesgo

Una variante de este caso es la de utilizar el interés a 10 años de la deuda pública.

  1. Lo fija la empresa en función del coste del dinero en el mercado para el consumidor.

Este método sirve para, al aplicarlo, obtener precios, ya que, éstos, dependen no de la procedencia de la financiación sino de la aplicación. Supone un precio, ya que el resultado de su empleo es un coste marginal y suele ser más alto que el de las otras alternativas, ya que un préstamo al consumidor suele ser más alto que el dado a una empresa.

  1. Lo fija la empresa en función de del coste del dinero en un mercado competitivo.

Este método se suele usar para comparar alternativas tecnológicas en un mercado competitivo.

  1. Lo fija el sector público en función del coste social.

Este método se usa para comparar alternativas desde el punto de vista del conjunto de la sociedad y tiene en cuenta el pago de impuestos que genera los ingresos públicos de la inversión.

  1. Por último está la fijación por la empresa, de forma subjetiva, de una tasa de descuento mínima y aceptable.

Respecto a la tasa de descuento a aplicar en la comparación de alternativas, se debe mencionar que hay dos formas de darla, en moneda corriente y en moneda constante, esta última variante no tiene en cuenta la inflación.

Para pasar de moneda corriente a constante se utiliza la siguiente fórmula que las correlaciona, aceptable para no muy altas tasas de inflación:

i= (1+c) x (1+e)-1; siendo i la tasa en moneda corriente, e la tasa de inflación y c la tasa de descuento en moneda constante. Ver Anejo nº 13 para su cálculo. De esta fórmula fluye el hecho que, un aumento de la inflación, incrementa la tasa de descuento

Dependiendo del método de comparación de alternativas, como más adelante veremos, es recomendable, según los casos, hacerlo en moneda constante o corriente. Las compras por adelantado solo se pueden justificar si la tasa de escalación real es mayor que la tasa de descuento en ausencia de inflación, según se demuestra en el siguiente ejemplo:

“ analizar si es mejor gastarse 100 $, ahora, con una escalación real del       0,8% y una inflación del 12%, que hacerlo dentro de dos años:

ea= ((1+er) x (1+ei))-1= ((1,008) x (1,12))-1= 12,896 %

Valor dentro de dos años: 100 x 1,12892= 127,46 $

Pero la más alta inflación afecta a la tasa de descuento y asumiendo que el 10% de tasa de descuento con el 6% de inflación está basado en  el 3,8% de tasa de descuento en ausencia de inflación (moneda constante), daría:

I= ((1,038) x (1,12))-1= 16,256% con lo que el valor actual de los 127,46$ serían:

VA= 127,46/(1,16256)2=94,31$  er (0,8%)  menos que i en ausencia de inflación.

Por lo que resulta más favorable esperar a hacer la inversión a los dos años debido a la influencia de las altas inflaciones sobre la tasa de descuento.

3.2.5.- Descripción de una inversión y sus principales componentes:

Una inversión es la aplicación de un capital para crear un activo empresarial que produce, año a año y hasta el fin del periodo que se considere de amortización, unos ingresos procedentes de su actividad productiva y unos gastos procedentes de los recursos necesarios empleados.

Como ya mencionamos en el punto nº 2.3, el periodo de amortización de la inversión no tiene que coincidir ni con la vida de diseño prevista ni con su vida útil.

La diferencia entre ingresos y gastos anuales se denomina cash-flow anual y, su suma, durante todo el periodo de amortización, comparada con el capital invertido es una indicación de la rentabilidad de la inversión. Las diferentes formas de realizar la comparación mencionada constituyen los diferentes tipos de análisis de inversiones.

Se supone que el dinero para pagar la inversión proviene de crédito externo y de los recursos propios de la empresa (acciones nuevas emitidas). Sin embargo, los gastos anuales se pagan con los ingresos anuales y se refieren a los gastos de operación y mantenimiento, a los de las materias primas, a los de los combustibles y a los de los consumibles.

Al final del periodo de amortización existirá un valor residual de la inversión, que hay que valorar, caso a caso, y que al menos será el valor de los terrenos en donde se implante el activo causa de la inversión. Además de los requerimientos de recuperación, procedentes de los gastos anuales, están los requerimientos de recuperación correspondientes a los intereses a pagar por los créditos y por la utilización de recursos propios, a los de la amortización de la inversión realizada, a los correspondientes a los impuestos sobre ingresos para el mínimo aceptable retorno e impuestos locales y seguros. Los gastos dependen de la producción real que se ha producido en el año, los intereses del capital y de los créditos y los impuestos sobre ingresos son, progresivamente, año a año, menores, hasta hacerse cero al final del periodo de amortización, y la amortización, seguros y otros impuestos son constante durante el periodo de amortización.

Gráficamente, los requerimientos de recuperación se pueden representar de acuerdo con la siguiente figura 3. a

Se supondrá, de forma genérica, que existe una amortización lineal anual igual al valor del capital invertido dividido entre el nº de años del periodo de amortización. También, se supone que las inversiones se hacen al principio del año y los gastos y demás cargas se pagan al final del año.

Gráficamente una inversión se puede representar por la siguiente Figura nº  3 b    

En la figura nº 3 b, en la parte A, hemos dibujado el valor de la inversión realizada en el momento de su puesta en operación comercial, hemos puesto los ingresos al final de cada año, iguales todos ellos y sin considerar escalación alguna, hemos puesto los gastos al final de cada año, iguales en todos ellos y sin considerar escalación alguna, y hemos puesto el valor residual de la inversión al final de ella.

En la figura nº 3 b, en la parte B, hemos dibujado, al final de cada año, el valor de los denominados “cash flows” (ingresos-gastos) y, en el último año le hemos sumado el valor del valor residual de la inversión.

En la figura nº 3 b, en la parte C, hemos dibujado en el momento “0” la suma de los “cash flows” descontados con la tasa de descuento, que hemos considerado de valor cero, y el valor de la inversión en ese punto.

Al final de la página hemos dibujado el Valor Actual Neto (VAN) de la inversión, que es el valor de la diferencia de los dos vectores dibujados y que resulta positivo, es decir que tiene rentabilidad positiva.

 

ANEJO Nº 12: VALOR DEL IPC, INDICE DEFLACTOR Y PIB, EN ESPAÑA Y EN LOS ULTIMOS AÑOS.

AÑO PIB IPC PI
1996 3,5 3,6 1,7
1997 2,4 1,9 1,0
1998 2,4 1,8 -0,7
1999 2,7 2,2 0,7
2000 3,5 3,5 5,4
2001 4,2 2,8 1,7
2002 4,3 3,6 0,6
2003 4,1 3,1 1,4
2004 4,0 3,1 3,4
2005 4,3 3,4 4,7
2006 4,1 3,6 5,4
2007 3,3 2,8 3,6
2008 2,4 4,1 6,5
2009 0,6 -0,2 -3,4
2010 1,0 2,0 3,2
  • ANEJO Nº 13 : HOJA DE CALCULO PARA DETERMINAR LOS FACTORES :

 

A= (1+i)n, PARA EN CONTRAR F CONOCIDO P

B=1/ (1+i)n, PARA ENCONTRAR P CONOCIDO F

C= [(1+i)n-1]/ i, PARA ENCONTRAR F CONOCIDO A

 D= [i / (1+i)n-1],PARA ENCONTRAR A CONOCIDO F

E=  [(1+i)n-1]/ i x (1+i)n, PARA ENCONTRAR P CONOCIDO A

 F= [ix(1+i)n/ (1+i)n-1] , PARA ENCONTRAR A CONOCIDO P

 N= i x (1-i)n/(1+i)n-1, PARA ENCONTRAR EL FACTOR DE NIVELACION APLICABLE A UN VALOR ACTUAL.

C= ((1+I)/(1+e))-1. PARA OBTENER EL INTERES EN MONEDA CONSTANTE CONOCIDA LA INFLACIÓN Y EL INTERES EN MONEDA CORRIENTE.

 

 

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